Лекция «Четность.» Продолжить Чтение »
Архив для 'Олимпиада' категории
Комбинаторика 2
Лекция «Комбинаторика-2.»
Практически вся эта лекция будет посвящена разнообразным свойствам особых чисел, называемых попросту «цэшками», а по-научному числами сочетаний. Эти числа, обозначаемые стандартно Сnk, уже появлялись в первой лекции «Комбинаторика». Напомним их определение основную формулу:
Сnk — это число способов выбрать k различных (т.е. без повторений) предметов из n различных (0<=k<=n), без учета порядка выбора. Они могут быть вычислены по следующим формулам:
Сnk=Ank/k!
Cnk=(n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1))/k!
Cnk=n!/(k!*(n-k)!)
Доказательства всех этих формул и определение чисел Ank вы можете прочитать в лекции «Комбинаторика 1». Продолжить Чтение »
Комбинаторика 1
Лекция «Комбинаторика»
Комбинаторика — это математическая наука, грубо говоря, о подсчете числа способов сделать что-либо. Несмотря на узость предмета изучения, наука эта весьма глубока. Кроме того, в олимпиадных задачах комбинаторика используется настолько часто, что ее знание (хотя бы в объеме данной лекции!) совершенно необходимо каждому математику-олимпиаднику.
(!) Хотя многие комбинаторные задачи кажутся очевидными, но многие школьники, особенно начинающие, путаются в них, принимая задачу одного типа за принципиально другую. Избежать путаницы в голове можно именно систематическим изучением теории. Продолжить Чтение »
Индукция
Лекция «Индукция.»
Метод математической индукции — не просто распространенный метод решения олимпиадных задач, но и способ доказательства многих утверждений в математической науке. (Не случайно эта лекция такая длинная!) Поэтому знать этот метод нужно не только математику-олимпиаднику, но и каждому, кто собирается в дальнейшем изучать высшую математику или теорию алгоритмов. Что же такое индукция? Продолжить Чтение »
Теория чисел
Теория чисел.
Простые и составные числа. Основная теорема арифметики:
Из школьной программы нашим читателям, безусловно, должны быть известны следующие факты:
— натуральное число называется простым, если оно делится только на самого себя и на 1;
— натуральное число называется составным, если оно имеет делитель, отличный от самого себя и 1;
— 1 не считается ни простым, ни составным числом (это связано с тем, что 1 является так называемым обратимым элементом множества целых чисел, т.е. любое число можно поделить на 1, а простые числа этим свойством не обладают);
— любое натуральное число, отличное от 1, можно разложить в произведениепростых сомножителей, причем единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей) — этот факт называется основной теоремой арифметики. Продолжить Чтение »
